19年结婚，有一个5岁的儿子，以前赌博欠下债务

如果你认为对方所提的3万7千元债务不存在，根据《中华人民共和国婚姻法》及相关司法解释，你有权在离婚诉讼中提出异议。在财产分割和债务处理上，原为夫妻共同生活所负的债务才需共同偿还。对于争议的债务，法院会进行审查，依据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》要求双方提供证据。若你能提供证据证明该债务不存在或并非用于共同生活，法院将据此判决。因此，关键在于收集并保留相关证据，以支持你的主张。
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面对对方的坚持，你首先应与对方协商，尝试达成一个双方都能接受的解决方案。若协商不成，你可在离婚诉讼中，根据《中华人民共和国婚姻法》关于子女抚养费的规定，向法院提出你的意见和支付能力证明。法院会综合考虑子女的实际需要、双方的负担能力和当地的实际生活水平，作出公正判决。若你认为抚养费数额过高，可提供收入证明等证据，请求法院适当调整。
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从法律角度，保护自己的权益需做到以下几点：一是收集并保留所有与财产、债务相关的证据，如银行流水、收入证明等；二是在离婚诉讼中积极主张自己的权利，包括对争议债务的否认和对抚养费的合理诉求；三是遵循法院程序，尊重法院判决，如有不服可依法上诉。同时，建议咨询专业律师，以便更准确地理解法律条款，制定合适的诉讼策略。